Demografiniai modeliai
Iš MIF SA wiki.
Šis dalykas yra įvadinis, ir, nors, pradžioje sprendžiami uždaviniai atrodo sunkūs, ilgainiui susiprotėsite kaip juos spręsti. Pradėję mokytis tokių dalykų kaip išgyvenamumo modeliai arba aktuarinė matematika demografinių modelių uždaviniai atrodys vaikiškai lengvi.
Turinys |
[redaguoti] Egzamino klausimai
1. Populiacijos vystimosi modelių (tiesinio, logistinio, hyperbolinio) apibrėžimai ir savybės.
2. Tiesinės ir netiesinės regresijos apibrėžimai. Trendo radimo formulės.
3. Kohortos apibrėžimas. Kohortą aprašančių dydžių apibrėžimai ir sąryšiai tarp jų. Atvejis, kai tikimybė išgyventi dar t metų nepriklauso nuo asmens amžiaus. Gomperco ir Makehamo teoremos.
4. Leksiso diagrama. Jos panaudojimas. Populiacijos tankio funkcijos apibrėžimas. Šios funkcijos naudojimas. Stacionarios populiacijos apibrėžimas. Mirusių skaičiaus išraiškos naudojant amžinę mirtingumo normą.
5. Stacionarios populiacijos mirtingumo funkcija. Sintetinės populiacijos apibrėžimas ir interpretavimas. Populiacijos vidutinės gyvenimo trukmės formulės įrodymas tolydžiu ir diskrečiu atvejais.
6. Mirtingumo lentelė (ML). ML sudarymo etapai. ML naudojamų dydžių apibrėžimai ir sąryšiai tarp jų.
7. Tiesinės skirtuminės lygties (TSL) apibrėžimas. TSL bendro sprendinio teorema (įrodyti). TSL bendro sprendinio teorema, kai koeficientai nepriklauso nuo n ir visos charakteristinės lygties šaknys yra ralios ir skirtingos (įrodyti). Pavyzdys- Fibonačio sekos atvejis.
8. Populiacijos atstatymo lygtis. Jos sprendimas diskrečiu atveju. Populiacijos atstatymo lygties charakteristinis polinomas turi tik vieną paprastą teigiamą realią šaknį, kuri moduliu yra didesnė už visas kitas (įrodyti?). Gimstamumo funkcija yra ekvivalenti eksponentinei funkcijai, kai laikas artėja prie begalybės.
9. Populiacijos atstatymo lygtis. Jos sprendimas tolydžiu atveju. Charakteristinė lygtis turi tik vieną realią šaknį (įrodyti). Gimstamumo funkcija yra ekvivalenti eksponentinei funkcijai, kai laikas artėja prie begalybės. Stabilios populiacijos apibrėžimas.
10. Populiacijos (x, x+dx) narių dalis visoje stabilioje populiacijoje nepriklauso nuo laiko (įrodyti). Stabilios populiacijos dydis, gimstamumo ir mirtingumo tankiai kinta eksponentiškai (įrodyti). Pensininkų ir dirbančiųjų atvejis. Grubiosios ir esminės gimstamumo ir mirtingumo normų apibrėžimai ir išreiškimas per populiacijos dalies funkciją c(x).
11. Diskrečiojo laiko matricinio modelio sudarymas Matricinės lygties išvedimas. Tikrinės reikšmės ir vektoriai. Prognozės matricos L diagonalizavimas (teoremų formuluotės). Populiacijos dydžio apskaičiavimo teorema (įrodyti?).
12. Stochastinis populiacijos modelis. Kompiuterinis modeliavimas. Dauginimosi ir nykimo procesas. (Ar spės išdėstyti kitąmet :) ?)
[redaguoti] Pastaba, ar šiaip geros naujienos
Per konsultaciją 2006-01-15 dėstytojas atšaukė 12-ą klausimą, 11-o klausimo paskutinįjį įrodymą bei 8-o klausimo pirmąjį įrodymą.
[redaguoti] 2007-01-18 egzamino pavyzdys, pirmas variantas
1. a) Parašykite stacionarios ir stabilios populiacijų apibrėžimus. Paaiškinkite apibrėžimuose naudojamus dydžius.
1. b) Išveskite diskrečiojo laiko matricinio modelio lygtį. Prielaidos: laiko vientas lygus 20 metų; maksimalus galimas asmens amžius lygus 80 metų; moterų vaisingumo periodas nuo 20 iki 40 metų.
max 5 taškai
2. Tarkime, amžinė mirtingumo norma (santykinis mirtingumo greitis) yra konstanta. Ar tikimybė 10-mečiui ir 90-mečiui išgyventi dar 20 metų yra vienoda? Atsakyma pagrįsti.
max 2 taškai
3. Tarkime, žinoma gimstamumo funkcija b(u) = 100*( 1 - exp{-u/100} ), ir mirtingumo funkcija s(x)= exp{-u/100}, kur u neneigiamas dydis. Raskite populiacijos [10;15) narių skaičių momentu t=50.
max 3 taškai
[redaguoti] Rezultatai
Neišlaikė surinkę 1,5 taško ir mažiau
Dešimtukus gavo studentai, surinkę 8 taškus ir daugiau.
[redaguoti] 2006-01-24 egzamino pavyzdys
1. Leksiso diagramos apibrėžimas. Netikimybinis gimstamumo tankis lygus b(u)=100. Asmenų, gimusiu laiko moomentu u mirtingumo funkcija lygi s(x, u)=exp{-x}, x - neneigiamas dydis. Išvesti (įrodyti) formules ir jų pagalba apsakičiuoti:
a) Koks asmenų, sulaukusių 30 metų, skaičius laikotarpiu [40;50]?
b) Kelis narius, kurių amžius priklauso intervalui [ln10;ln20), turi populiacija momentu t=10?
c) Apskaičiuokite asmenų, kurių amžius mirties momentu buvo iš intervalo [ln30;ln40) ir jie buvo gimę laikotarpiu [0;5), skaičių.
Ar populiacija yra stacionari?
max 5 taškai
2. Santykinio mirtingumo greičio (amžinės mirtingumo normos) apibrėžimas. Tarkime, žinome, kad yra pastovi (konstanta). Ar asmeniui, sulaukusiam x metų, tikimybė išgyventi dar t metų priklauso nuo x? Atsakyma pagrįskite.
max 2 taškai
3. Ar stabilioje populiacijoje jos narių dalis [40;50) visoje populiacijoje nuo laiko nepriklauso? Atsakymą pagrįskite.
max 3 taškai
[redaguoti] Egzamino užduočių sprendimai
2006 1. a)
2006 1. b)
2006 1. c)
2006 3.
2007 1. b)
2007 3.
[redaguoti] Literatūra
Skenuoti konspektai (33 lapai, 3,5 Mb), juose yra ir mėginimų spręsti uždavinius iš Lapinsko knygelės.
