Funkcinė analizė

Iš MIF SA wiki.

[redaguoti] Pagrindimas

Funkcinė analizė tai klasikinės matematinės analizės, kuri prasidėjo nuo Niutono ir Leibnico skaičiavimų, 18 amžiuje buvo vystoma Eulerio darbuose ir šiuolaikinį pavidalą įgavo Gauso, Koši, Rymano, Vejerštraso, Lebego ir daugelio kitų garsių matematikų pastangomis, tąsa. Klasikinė matematinė analizė nagrinėja ribines matematines sąvokas. Tradiciškai tai – konvergavimas, tolydumas, diferencijavimas ir integravimas realiųjų skaičių aibėje ar baigtinės dimensijos vektorių erdvėje. Funkcinės analizės objektai yra abstraktūs ir, dažniausiai, begalinės dimensijos. Paprasčiausias pavyzdys – kokiame nors intervale apibrėžtos funkcijos. Dėl abstraktaus požiūrio į tiriamus objektus bei matematines sąvokas, funkcinė analizė išsivystė ne tik kaip savarankiška matematikos kryptis, bet ir kaip graži matematinė kalba su savo žodynu, taisyklėmis, nuostatomis, manieromis. Ji tapo pamatine teorija kvantinei fizikai, pusiausvyros ekonomikai, šiuolaikinei tikimybių teorijai ir matematinei statistikai, skaitinių aproksimacijų teorijai bei kitoms tiek grynosios matematikos, tiek jos taikymų sritims. Funkcinės analizės kalba naudojasi visi kas susiduria su matematika. Ji padeda lengviau ir suprantamiau perteikti mintis, aiškiau formuluoti bei vystyti naujas idėjas.

[redaguoti] FA MIF'e

Prof. A. Račkausko skaitomo kurso konspektai ir egzamino pavyzdys: žr. čia

Šių metų kursas skirsis nuo išdėstyto pernai metais. Ilgainiui konspektai bus atnaujinti.

Noriu pasiūlyti šaltinį, kuriame surinkta gausybė informacijos funkcionalinės analizės besimokantiems.

Nepamirškite, kad yra dar ir funkcinės analizės forumas. Apsilankykite ir jame. Forume yra ir kontrolinių pavyzdžių. Beje, pratybų medžiagos pilnai pakanka, kad gerai parašyti kolį. Per kolį buvo uždavinių už 12 taškų, tarp jų ir vienas teorinis (teoremos įrodymas). Teoremų sąrašas buvo duotas savaitę iki kolio:

• Banacho teorema apie sutraukiantį tvaizdį*
• Bero teorema apie kategorijas*
• Hausdarfo teorema apie reliatyviai kompaktiškas aibes
• Arzela-Ascoli teorema
• Ryso lema apie beveik statmenį*

o čia yra iš lenkšo puslapio nuchakintas 2007 metų kolis

Žvaigždute pažymėtos teoemos yra labai lengvos teoremos

Koliui davė įrodyti Hausdarfo teoremos būtinumą. Praktika rodo, kad vidutinių gabumų matematikui teoremoms perkąsti užtenka 6 valandų. ;) tik išsimiegokite prieš kolį.

[redaguoti] Egzaminas

Daugiau egzo pavyzdžių: [1] ir [2]

Išlaikymo riba yra 10 taškų iš 30. Nesvarbu kiek gavai iš kolio- egzas turi būti išlaikytas. Egzamino svoris 0,8, kolio 0,2.

Kadangi funkcinės analizės kurse mes kalbame apie visokias erdves, tai tie 10 taškų per perlaikymą, o kartais ir per pagrindinę sesiją pasikeičia į mažesnę reikšmę. 2008-01-15 išlaikymo riba fdm studentams buvo 7 taškai. 2009 užteko jau ir 5 taškų. Prastėjam chebra. Per egzaminą testinę dalį sudarė daugmaž matyti klausimai (kurie yra konspektuose). Teorinis uždavinys buvo įrodyti Banacho teoremą apie sutraukiantį atvaizdį bei pagrįsti kam mum reikėjo šios teoremos formuluotėje pilnumo.

Dar vienas uždavinys iš egzo: įrodyti, kad Banacho erdvė su šauderio baze yra separabili.

Dar buvo Buvo uždavinys - įrodyti, kad aibė A:={visos f iš C[0,1], kur f nemažėjančios}, yra uždara.

Siūlau sprendimą: Iš MA kurso žinome, kad kiekviena tolydi funkcija baigtiniame intervale yra aprėžta. Taigi, atsiras toks M, kad visoms funkcijoms iš A bus taip: |f|<M. Aibės viršutinis rėžis bus M, apatinis -M. Iš kairės ir dešinės aibė A yra aprėžta, išties, mes juk nagrinėjame intervalą [0,1]. Taigi, beliko nustatyt aibės uždarinį, jei jis sutaps su pačia aibe, tai ji bus uždara pagal apibrėžimą. Nieko sunkaus, atsiras tokios funkcijos f,g,h,k iš aibės A, kad joms bus teisinga: h(x)=M, g(x)=-M visiems x iš intervalo [0,1]. Taip pat atsiras f(x) ir k(x), kurios bus lygios visados, atitinkamai 0 ir 1 visiems x iš [0,1]. šios funkcijos sudarys aibės uždarinį, be to jos priklauso A, taigi, aibė yra uždara.

Pastebėjau (jau grįžęs iš egzo), kad čia yra klaida viename iš sprendimo etapu. Mat funkcijos f ir k pasieks rėžį M ir jį viršys, tada galvoti galima būtų taip: mes galime nagrinėti lygiagrečias funkcijas funkcijoms h(x) ir g(x), kurios yra aprėžtos to paties M. Tarkime tokių funkcijų yra skaičius n, o atstumas tarp jų visiems vienodas ir lygus epsilon priklausasntis nuo n (kuo daugiau funkcijų, tuo mažesnis atstumas epsilon tarp gretimų funkcijų). Jei didinsime n, tai epsilon mažės, kai n pasieks begalybę, mes tokiomis funkcijomis užpildysime visą plotą. Taigi mes užtušuosime tokiomis funkcijomis iš aibės A visą plotą. Aibė yra uždara.

O ar nebūtų paprasčiau (ir teisingiau?) elgtis taip: Imti konverguojančią A aibės funkcijų seką f_n. Tarkim f_n -> f_0. Konvergavimas yra tolydus (pagal erdvės C[0,1] metriką), taigi funkcijų seka konverguoja ir pataškiui. Vadinasi su visais x'ais f_n(x) -> f_0(x). Tačiau visos f_n yra nemažėjančios (nes iš A), todėl jei x < y, tai f_n(x) <= f_n (y). Pereikime prie ribos ir naudodami žinom1 skaičių ribų savybę (jei x_n <= y_n, tai ir lim x_n <= lim y_n) gauname, kad ir f_0 (x) <= f_0 (y). Lygiai taip pat būtų galima įrodyti, kad uždara yra nedidėjančių funkcijų aibė. Tiesa, jei imtume griežtai didėjančias ar griežtai mažėjančias funkcijas jau būtų negerai - nes iš x_n < y_n neseka, kad lim x_n < lim y_n (seka, kad lim x_n <= lim y_n). Vienžo, labaai jau lengvi tie FA egzaminai tapo...