Geometrija matematika

Iš MIF SA wiki.

Peršokti į: navigaciją, paiešką


Turinys

[redaguoti] Krasausko studentams, 1-as kolis

1. Rasti trikampio A(-2; 3), B(2; 1), C(-1; -3) pusiaukraštinės AD lygtį.

2. Dvi kvadrato kraštinės guli tiesėse 2x - 3y - 15 = 0, 2x - 3y - 10 = 0. Rasti jo plotą.

3. Rasti apskritimo centrą, kuris eina per taškus M(1; 3), N(1; 1) ir liečia tiesę x - y - 2 = 0.

4. Iš taško (1;0;-7) nuleistas statmuo T į tiesę (x - 1)/2 = y/(-1) = (z+1)/1. Rasti tiesės T kanonines lygtis.

5. Rasti kanoninę 2-os eilės kreivės lygtį, jeigu atstumas tarp direktrisių yra 9/2 ir e = 4/3.

6. Hiperbolė eina per tašką (4; 3) ir turi asimptotes x - 2y + 3 = 0, x + 2y - 5 = 0. Rasti ekscentricitetą.

Taip pat vertėtų pažiūrėti uždavinius Nr. 237, 1050, 462 ir 604 iš sąrašo pratybos.pdf.


Puiki nuoroda žinias pasitikrinti

[redaguoti] Krasausko studentams, 2-as kolis 2010m

1. Rasti visus hiperbolės x2/64 - y2/36 = 1 taškus, kurių atstumai nuo dešiniojo židinio lygūs 9/2.

2. Rasti koordinačių transformacijos formules, jei naujas ašis atitinka lygtys: 

  4x - 3y + 5 = 0 ir 3x + 4y - 5 = 0.

3. Duotas kreives suvesti į kanoninį pavidalą, nupiešti eskizą: 

  1)  3x2 + 4xy + 16 = 0;
  2)  9x2 - 24xy + 16y2 + 4x - 12y - 6 = 0.

4. Paviršius x2/32 - y2/18 + z2/4 = 1 kerta plokštumą y - 4 = 0. Rasti sankirtos kreivės židinius.

5. Rasti tieses, einančias per tašką A=(4; -2; 3) ir gulinčias paviršiuje x2/16 - y2/4 + z2/6 = 1.

[redaguoti] Krasausko studentams, 2-as kolis

Antros eilës kreivių suvedimas į kanoninį pavidalą

K.1 Apskaičiuoti koordinačių transformacijas, kurios duotas antros eilės lygtis suvestų į kanoninį pavidalą ir nupiešti kreivės eskizą: 

  1. 4x2 + 9y2 - 40x + 36y + 100 = 0;
  2. 9x2 + 4y2 + 18x - 8y + 49 = 0;
  3. 4x2 - y2 + 8x - 2y + 3 = 0.

K.2 Nustatyti duotų antros eilės kreivių tipą ir rasti jų kanoninį pavidalą: 

  1. 17x2 - 12xy + 8y2 = 0;
  2. 5x2 - 6xy + 5y2 + 8 = 0;
  3. 7x2 - 52 xy - 32y2 - 180 = 0;
  4. 2 xy + x - 4 y + 2 = 0.

Antros eilės paviršiai

P.1 Rasti elipsoido x2/16 + y2/12 + z2/4 = 1 ir plokštumos x - 2 = 0 sankirtos kreivæ. Nustatyti jos pusašes, centrą ir viršūnes.

P.2 Patikrinti, kad paviršius x2/32 - y2/18 + z2/2 = 1 (koks jo pavadinimas?) kertasi su plokštuma z + 1 = 0 hiperbole. Rasti jos pusašes ir viršūnes.

P.3 Įrodyti, kad plokštuma y + 6 = 0 kerta hiperbolinį paraboloidą x2/5 - y2/4 = 6z parabole. Rasti jos parametrą, židinį ir direktrisę.

P.4 Įrodyti, kad elipsinis paraboloidas x2/9 + z2/4 = 2y turi tik vieną bendrą tašką su plokštuma 2x - 2y - z - 10 = 0. Rasti jo koordinates.

P.5 Rasti paviršių ir tiesių sankirtos taškus: 

  1. x2/16 + y2/9 - z2/4 = 1 ir x/4 = y/(-3) = (z + 2)/4;
  2. x2/5 + y2/3 = z ir (x + 1)/2 = (y - 2)/(-1) = (z + 3)/(-2);
  3. x2/9 - y2/4 = z ir x/3=(y - 2)/(-2) = (z + 1)/2.

P.6 Rasti dvi tieses, kurios eina per tašką M(1;3;-1) ir guli ant hiperbolinio paraboloido 4x2 - z2 = y.


[redaguoti] Krasausko studentams, egzaminas

Nuoroda į egzamino klausimus pasikartojimui, kurie yra nekas kita, kaip Karčiausko konspektų turinys.

Kaikurie iš 2006-ųjų metų egzamine pateiktų klausimų:

  • Rasti kampo, kurį sudaro tiesės ax-by+c=0 ir bx+ay+d=0, pusiaukampinę.
  • Užrašyti kreivės (x+c)²-y²=1 liestinės taške (a;b) lygtį.
  • Kokios kreivės gali būti gautos pjaunant kūgį x²+y²=z²/3 plokštuma, kuri sudaro 45 laipsnių kampą su z ašimi?
  • tiesė x/2=y-2/3=z+1/4 sukama apie z ašį. Rasti paviršiaus lygtį.
  • kiti klausimai


Klausimai iš 2008 metų egzamino:

  • Apibrežti elipsę naudojant eksicentricitetą, židinį.
  • Parašykite charakteringąją antros eiles kreives lygtį ir įrodykite, kad ji turi realias šaknis.
  • Įrodykite, kad I3 yra ortogonalusis invariantas.
  • Kiek sankirtos taškų galime turėti sukirtę parabolę su tiese? Ar esant vienam sankirtos taškui tiesė yra tik liestinė?
  • Kas per paviršius yra x^2 - y^2 + z^2 = 0, nupieškite jį, pavadinkite jį.
  • Kokį turime paviršių, jei jį kirsdami su plokštumą gauname tik paraboles ir elipses. Parašykite jo kanoninį pavidalą ir pavadinkite jį.
  • Įrodykite elipsės optinę savybę.
  • Ką galime gauti sukdami tiesę apie x ašį?


Perlaikymui tikėkites tokių pat uždavinių, kuriuos buvote gavę per pagrindinį laikymą. Krasauskas keičia egzaminus kasmet, bet kartais patingi ir duoda užpraeitų metų egzaminą.

Gauta iš „http://wiki.mifsa.lt/Geometrija_matematika“
Asmeniniai įrankiai