Iš MIF SA wiki.

[redaguoti] Klausimai 2005/06 ir 2006/07

Kažkiek papildomos informacijos galima susimedžioti internete, šiuo adresu.

---

1 tema. Skaičiai ir skaičiavimai

1.1. Iš kokių šaltinių mes žinom apie egiptiečių matematiką?
1.2. Kaip trupmenas rašė senovės egiptiečiai?
1.3. Kaip egiptiečiai daugindami naudojosi “dvigubinimo” metodu?
1.4. Kokias trupmenas naudojo senovės egiptiečiai ir kaip jas raše?
1.5. Paaiškinkite “godųjį” algoritmą paprastajai trupmenai išreikšti egiptietiškomis.
1.6. Įrodykite, kad yra be galo daug būdų paprastąją trupmeną išreikšti egiptietiškomis.
1.7. Kokią sistemą skaičiams ir trupmenoms rašyti naudojo šumerai ir babiloniečiai?
1.8. Kaip skaičius rašė senovės graikai?
1.9. Kaip senovės kinai skaičiavimams naudojosi skaičiavimo lenta ir kaip rašė skaičius?
1.10. Kaip skaičius rašė majai?
1.11. Užrašykit nurodyta skaičių x (0≤x≤100) taip, kaip raše majai. 
1.12. Kur ir kada buvo sistemingai pradėtas naudoti 0?
1.13. Kas yra abakas? Kurios tautos naudojosi šiuo instrumentu? 
1.14. Kas sugalvojo logaritmus? Paaiškinte kaip buvo sudaromos pirmosios logaritmų lentelės.
1.15. Kas sugalvojo ir sukonstravo pirmuosius mechaninius skaičiavimo instrumentus?

2 tema. Begalybės problema matematikoje

2.1. Suformuluokite Zenono dichotomijos paradoksą
2.2. Suformuluokite Zenono strėlės paradoksą
2.3. Kokią pažiūrą apie begalybę matematikoje suformulavo Aristotelis?
2.4. Ką apie begalinius dydžius mat. manė Galilėjus?
2.5. Su kokiais begalinių dydžių paradoksais susidurdavo matematikai, plėtoję matematinės analizės metodus? Pateikite pvz.
2.6. Kokia mat. problema paskatino begalinių dydžių sąvokos tyrimus?
2.7. Trumpai apibūdinkite Bolzano aibių lyginimo idėją naudojant elementų atitiktį.
2.8. Įr., kad racionaliųjų ir natūrinių sk. aibės ekvivalenčios.
2.9. Įr., kad vienetinio int-lo skaičių ir natūrinių sk. aibės nėra ekvivalenčios.
2.10. Įr., kad vienetinio kvadrato ir vienetinio int-lo taškų aibės ekvival.
2.11. Kaip konstruojama Hilberto kreivė.
2.12. Kokias probl.tyrinėdamas Kantoras suformulavo kontinuumo hipotezę? Ką ji teigia?
2.13. Kaip buvo susietos aibių lyginimo pagal galias ir visiško sutvarkymo problemos.
2.14. Kam Kantoras įvedė kardinalius sk.?
2.15. Kaip Kantoras apibrėžė kardinalinio sk.laipsnį?
2.16. Su kokias prieštaravimais buvo susidurta plėtojant aibių teoriją?
2.17. Kas kūrė aibių teorijos aksiomatiką ir kodėl jos prisireikė?
2.18. Ką teigia 'išrinkimo" aksioma?
2.19. Ką teigia Banacho-Tarskio paradoksas?
2.20. Kokią išvadą apie aksiomų sist.neprieštaringumo įrodymus suformulavo Giodelis?
2.21. Kokį tg. apie kontinumo hipotezę įrodė P.Cohen?

3 tema. Euklido “Elementai”

3.1. Kada buvo parašytas šis veikalas? Kokia jo reikšmė mat. raidai?
3.2. Kokius tg. Euklidas vad.aksiomomis, kokius postulatais?
3.3. Kaip Euklidas apibrėžė lygiagrečias tieses?
3.4. Suformuluokite 5ąjį Euklido postulatą.
3.5. Kaip „Elementuose“ braižomas duotajam daugiakampiui lygiaplotis lygiagretainis?
3.6. Kaip „Elementuose įrodinėjama Pitagoro tr.?
3.7. Pateikite ,,graikišką” (geometrinę) sumos kvadrato formulės interpretaciją
3.8. Pateikite ,,graikišką” (geometrinę) kvadratų skirtumo skaidymo formulės interpretaciją.
3.9. Suformuluokite atkarpos dalijimo ,,aukso pjūvio” santykiu užd..
3.10. Parodykite brėžiniu, kaip sprendžiamas atkarpos dalijimo užd.
3.11. Parodykite, kaip gaunama lygtis, kurios sprendinys – ,,aukso pjūvio” skaičius. Kam lygus šis skaičius?
3.12. Parodykite brėžiniu kaip braižomas ,,specialus” lygiašonis trikampis (kampai prie pagrindo dvigubai didesni už viršūnės kampą).
3.13. Kaip braižomas taisyklingas 5kampis?
3.14. Kaip nubraižyti taisyklingą 15kampį?
3.15. 5toje “Elementų” knygoje dėstoma dydžių santykių teorija. Kam jos prireikė?
3.16. Kokia apibendrintoji Pitagoro tr išdėstyta “Elementuose”?
3.17. Kam graikų matematikai naudojo “išsėmimo” metodą? Kokia jo esmė?
3.18. Kokius briaunainius graikai vad. taisyklingaisiais? Kiek jų yra?

4 tema. Nebendramačiai dydžiai ir realieji sk.

4.1. Kokius dydžius graikų antikos matematikai vad. bendramačiais?
4.2. Kodėl nebendramačių atkarpų atradimas nesiderino su pitagoriečių pasaulėžiūra? 
4.3. Kaip Euklido b.d.d. radimo algoritmą galima taikyti įrodymui, kad du dydžiai (atkarpos) yra bendramačiai (nebendramačiai)?
4.4. Euklido metodu įrodykite, kad taisyklingo penkiakampio įstrižainė ir kraštinė nėra bendramatės.
4.5. Įrod, kad kvadrato kraštinė ir įstrižainė yra nebendramatės.
4.6. Kokius dydžius graikų antikos matematikų požiūriu galima lyginti, kokius ne?
4.7. Kokie dydžių santykiai vad. lygiais pagal Eudokso apibrėžimą?
4.8. Kokį būdą graikai naudojo dviems dydžių santykiams dauginti?
4.9. Kaip Theonas bandė pagrįsti, kad ,,kvadrato įstrižainės ir kraštinės santykis glūdi skaičiuose”?
4.10. Kokį požiūrį į santykių lygybę suformulavo Omaras Chajamas?
4.11. Kada europiečiai pradėjo naudoti dešimtaines trupmenas? Kas apie jas parašė svarbų veikalą?
4.12. Kada buvo sukurtos loginiu požiūriu griežtos realiųjų sk. konstrukcijos? Kas jas sukūrė?
4.13. Apibūdinkite Dedekindo realiųjų sk. konstrukciją naudojant racionaliųjų sk. pjūvius.

5 tema. Piramidės tūris

5.1. Kokiais tg rėmėsi graikų daugiakamių plotų teorija?
5.2. Tg. apie lygiadalius ir lygiapločius daugiakampius. Kas jį įrodė?
5.3. Įrod,kad 2 trikampiai su vienodais pagrindais ir aukštinėmis yra lygiadaliai
5.4. Bolyai-Gerwieno tr.
5.5. Kaip galima elementariai įrodyt, kad dviejų prizmių su vienodais pagrindais ir aukštinėmis tūriai yra lygus?
5.6. 3 Hilberto problema apie piramidės tūrį. Kas ją išsprendė, koks atsakymas?
5.7. Kaip piramidžių su vienodais pagrindais ir aukštinėmis tūrių lygybė ‘išsėmimo’ metodu įrodinėjo graikai?
5.8. Parodykite brėžiniu, kaip kiniečiai gavo teiginį apie nupjautines taisyklingos keturkampės piramidės tūrį?

6 tema. Plotų ir tūrių skaičiavimas naujaisiais laikais

6.1. Paaiškint kaip Archimedas pasinaudojo sverto taisykle skaičiuodamas parabolinio trikampio plota.
6.2. Paaiškint, kaip Archimedas pasinaudojo sverto taisykle skaičiuodamas rutulio tūri.
6.3. Kavalieri principas plotams bei tūriams lyginti
6.4. Kaip naudojantis Kavalierio principu galima apskaičiuoti cikloidės arkos plotą?
6.5. Pateikime pvz, kai taikant Kavalieri principą, gaunamas klaidingas rezultatas.
6.6. Kokiais samprotavimais skaičiuodamas plotus ir tūrius naudojosi Kepleris? 
6.7. Kokius užd. nagrtinėjant buvo sukurtas diferencialinis ir integralinis skaičiavimas? 
6.8. Paaiškint Fermat ekstremumų radimo metodą.
6.9. Paaiškint pvz. Fermat liestinės radimo metodą. 
6.10. Paaiškint Robertvalio kinematinį kreivės liestinės radimo metodą
6.11. Paaiškint, kaip Fermat apskaičiavo figūros, apribotos hyperbole y=x-k plota. 
6.12. Paaiskinkite brežiniu Barrow fundamentaliaja tr.
6.13. Keliais sakiniais apibudinkite Newtono sukurto diferencialinio-integralionio skaiciavimo ypatybes
6.14. Leibnico sukurto diferencialinio-integralinio skaičiavimo ypatybes.

7 tema. Pirminių skaičių tyrinėjimo istorija

7.1. Kokie sk. vad.tobulaisiais? Kokie draugiškaisiais?
7.2. Koks tg apie tobuluosius sk. įrodytas Euklido „Pradmenyse“?
7.3. Ką apie tobuluosius sk. teigė Nikomachus „Aritmetikos įvade“ (apie 100m. po Kr.)?
7.4. Kokie sk vad.nepritekliaus, perviršio sk?
7.5. Kas žinoma apie perviršio sk kiekį?
7.6. Kaip pirminiai sk apibrėžiami Euklido „Elementuose“?
7.7. Pateikite Euklido įrodymą, kad nėra didžiausiojo pirminio sk..
7.8. Koks algoritmas vad. Eratosteno rėčiu?
7.9. Kuo svarbus Oilerio įrodymas, kad f-ja (x) neaprėžtai didėja?
7.10. Kokį f-jos (x) kitimo dėsnį empiriškai nustatė Ležandras?
7.11. Kokią f-jos (x) aproksimacija pasiule Gausas
7.12. Čebyšovas 1850m. įrodė nelygybę: 0.89(x/lnx)< (x) <1.11(x/lnx) 
7.13. Bertrando postulatas (1845m.)
7.14. Rymano požiūris
7.15. Kuo daugiau dzeta funkcijos nulių žinoma tuo tiksliau galima aproksimuoti (x) f-ja
7.16. Kas įrod. Asimptotinį f-jos (x) kitimo dėsnį. Suformuluoti jį.
7.17. koks pirminių sk. išsidėstymo reiškinys vad. Ulamo spirale?
7.18. kokie sk. vad. Fermat pirminiais? Kokie – Perseno pirminiais?
7.19. kokios aritmetinės f-jos vad. adityviomis? Kodėl f-ja w(n) vad. adityvia?
7.20. kokie užd. Tyrinėjami tikimybinėje sk. teorijoj?

8 tema. Paskutinioji Fermat teorema

8.1. Suformuluokite nors viena uzd is Diofanto “aritmetikos” ,kaip Diofantas ji sprende.
8.2. Koki uzd apie skaiciu kvadratus sprende P.Fermat?Suformuluokite jo irodyta tg.
8.3. Apibudinkite bendrais bruozais Fermat ‘’ begalinio nusileidimo’ metoda.
8.4. Suformuluokite Fermat paskutiniaja tr.
8.5. Kaip uzrasomi visi primityvieji lygties x2+y2=z2 sprendiniai(primityvieji Pitagoro skaiciu trejetai)? 
8.6. Kokia itaka Fermat lygties xn+yn=zn padare Gauso veikalas ‘Disquisitiones arithmeticae’ ?
8.7. Koks Sophic Germain inasas ieskant paskutiniosios Fermat tr irodymo?
8.8. Kuo tyrinejant Fermat lygti xn+yn=zn nusipelne E.Kummeris ?
8.9. Kokiais metodais Fermat lygtis xn+yn=zn tyrineta antroje XXa. puseje ?
8.10. Kokios kreives vad. elipsinemis ?
8.11. Kokiu matematiku darbu idejomis remiasi paskutiniosios Fermat tr. irodymas ?

9 tema. Kubo padvigubinimo uždavinys

9.1. Kaip padvigubinti kvadratą Sokrato metodu?
9.2. Suformuluokite kubo padvigubinimo užd.
9.3. Kaip Hipokratas kubo padvigubinimo užd pakeitė ,,atkarpų įterpimo” uždaviniu?
9.4. Įrod, kad kubo padvigubinimo užd, ir Hipokrato užd apie atkarpų įterpimą yra ekvivalentūs.
9.5. Paaiškinkite Archito kubo padvigubinimo uždavinio naudojant antros eilės paviršius sprendimo idėjas.
9.6. Paaiškinkite Menechmo sprendimą su antros eilės kreivėmis.
9.7. Paaiškinkite, kaip kubo padvigubinimo užd sprendžiamas naudojant Eratosteno Mezoliabiją.
9.8. Paaiškinkite kubo padvigubinimo užd Platono sprendimą.
9.9. Kokia kreivė vadinama Nikomedo konchoide?
9.10. Paaiškinkite, kaip kubo padvigubinimo užd galima išspręsti pasinaudojus Apolonijaus, Filono arba Herono konstrukcija.
9.11. Kokia kreive vadinama Dioklo cisoide? Kaip kubo padvigubinimo užd galima išspręsti pasinaudojus šia kreive?
9.12. Kas ir kada įrodė, kad kubo padvigubinimo užd vien skriestuvu ir liniuote išspręsti negalima? 

10 tema. Skritulio kvadraturos uždavinys

10.1. Kaip naudojantis graikų metodu duotajam daugiakampiui sukonstruoti jam lygiaplotį stačiakampį, kurio viena kraštinė būtų iš anksto duota?
10.2. Paaiškinkite, kaip Hipokratas išsprendė „mėnuliukų“ kvadratūros uždavinį. 
10.3. Suformuluokite skritulio kvadratūros užd.
10.4. Kaip skritulio kvadratūros užd gali būti išspręstas naudojant direktrisę?
10.5. Kaip skritulio kvadratūros užd gali būti išspręstas naudojant Archimedo spiralę?
10.6. Kokią apytikslę skaičiaus π reikšmę naudojo Archimedas? Paaiškinkite Archimedo metodą apytikslėms π reikšmėms gauti.
10.7. Kokius metodus apytikslėms skaičiaus π reikšmėms rasti naudojo naujųjų laikų europiečiai?
10.8. UžrašykiteOilerio f-lę, kuri susieja skaičius π, e ir i.
10.9. Kas ir kada įrodė, kad skaičiuas π yra iracionalus, transcendentinis?Ką reiškia, kad π-transcendentinis sk.?
10.10. Kuo skaičiaus π apytikslių reikšmių tikslinimui svarbios Ramanujano formulės?

11 tema. kampo trisekcijos uždavinys.

11.1. Suformuluokite kampo trisekcijos užd ir paaiškinkite, kaip jį galima išspręsti atkarpos įterpimo metodu (neusis).
11.2. Suformuluokite kampo trisekcijos užd ir paaiškinkite, kaip jį atkarpos įterpimo metodu išsprendė Archimedas.
11.3. Paaiškinkite, kaip kampo trisekcijos užd galima išspręsti naudojant direktrisę.
11.4. Paaiškinkite, kaip kampo trisekcijos užd galima išspręsti naudojant Archimedo spiralę.
11.5. Nubrezkite ‘mechaninio’ trisekcijos instrumento brežinį.
11.6. Suformuokite trikampio trisektrisių savybe.

12 tema. N- ojo laipsnio algebrinės lygtys.

12.1. Kokios lygtys yra “sprendžiamos” Rhindo papiruse?
12.2. Paaiškint “vienos klaidos” met.lygčiai ax=b spręsti
12.3. Paaiškint “2-jų klaidų” met.lygčiai ax+b=c spręsti.    
12.4. Kaip užd., kuriuose reikia rasti nežinomą dydį, spręsdavo graikai?
12.5. Kas sukūrė algebros simbolinio skaičiavimo pagrindus? 
12.6. Užrašykite Cardano formules kubinei lygčiai spręsti. Kas jas iš tikrųjų surado?
12.7. Koks naujas požiūris į n-ojo laipsnio lygčių išsprendžiamumo problemą kilo iš Ležandro darbų? 
12.8. Kokia lygtis vadinama ciklotomine lygtimi ir kas ją išsprendė?
12.9. Koks Gauso rezultato apie ciklotominę lygtį ir taisyklingojo daugiakampio braižymo užd. ryšys? 
12.10. Kokie matematikai ir kaip užbaigė n-ojo laispnio lygčių išsprendžiamumo problemos tyrimą?

13 tema. 5-asis Euklido geometrijos postulatas.

13.1. Suformuluokite 5aji Euklido postulatą taip, kaip jis suformuluotas Euklido „Pradmenyse“.
13.2. Paaiškint, kaip 5-ąjį postulatą bandė įrodyt graikų matematikas Proklas ir nurodykite jo klaidą. 
13.3. Kokį ryšį tarp panašiųjų trikampių ir 5ojo postulato nustatė anglų matematikas J. Walis?
13.4. Apibūdinkite Sakerio įnašą sprendžiant 5ojo postulato problemą.
13.5. Kokie XIX a. matematikai yra naujo požiūrio į 5ojo postulato problemą autoriai?
13.6. Kokia aksioma 5ajį postulatą pakeitė N. Lobačevskis?
13.7. Paaiškint Lobačevskio aksiomą brėžiniu interpretuodami skritulį be krašto kaip plokštumą.
13.8. Paminėkite keletą išvadų iš Lobačevskio aksiomos.

[redaguoti] Pastaba

Dėstytojas atšaukė 12-ąjį klausimą per 2006/07 mokslo metus

[redaguoti] Atsakymai

  Na... siulau nesigirti dėstytojui, kad juos turite :) 

Kaikurie atsakymai yra ne tik su gramatinėm, bet ir loginėm klaidom. Būkite budrūs :) pasitikrinkite prieš spausdindamiesi